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TANGENTES

RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS

DEFINICIONES: Una línea tangente es aquella línea que se encuentra a la misma distancia del centro que cualquier punto de la circunferencia.  Una línea que toque en un punto a una circunferencia o a un arco de circunferencia, es tangente a ellos y es perpendicular al radio que llega al punto de tangencia.


CONSTRUCCIONES

1. Dibujar una línea tangente a la circunferencia, que pase por el punto A.
PROCEDIMIENTO:
Dibujamos la circunferencia y localizamos el punto A, luego trazamos el radio OA. A este radio le levantamos una perpendicular en su extremo A, que será la tangente pedida.



2. Trazar una tangente a un arco de circunferencia cuyo centro no se conoce y que pase por el punto A.
PROCEDIMIENTO:
Situamos un punto B cualquiera sobre el arco. Con centro en este punto y radio AB trazamos un arco encontrando el punto C. Haciendo centro en A y radio AC trazamos un arco encontrando el punto D. Unimos los puntos A y D mediante una línea, hallando así la tangente.



3. Dado el segmento AB y una circunferencia O, trazar una tangente de tal manera que forme con AB un ángulo conocido.


PROCEDIMIENTO:
Trazamos la circunferencia y el segmento dado en el lugar indicado. Luego desde un punto cualquiera C, perteneciente a AB, trazamos un ángulo igual al dado, de tal forma que el otro lado del ángulo sea secante a la circunferencia, cortándola en los puntos D y E. Trazamos una perpendicular a la cuerda DE, que pase por el centro O de la circunferencia y la corte en el punto F. La tangente pedida (GH) será la que pase por F
.



4.    Trazar una tangente a una circunferencia dada, que pase por un punto M fuera de ella.

PROCEDIMIENTO:
Trazamos una línea que una al punto M con el centro de la circunferencia.  Encontramos el punto medio A de la línea 0M y haciendo centro en este punto con el compás, y un radio igual a A0, trazamos un arco que cortará a la circunferencia en los puntos B y C.  Unimos el punto M con el punto B o con el punto C, encontrando así la tangente.

 

5. Dadas la circunferencia O y la línea AB, trazar una tangente a la circunferencia, que sea paralela a la línea AB.

PROCEDIMIENTO:
Trazamos una perpendicular a la línea AB, de tal forma que pase por el centro de la circunferencia y la corte en los puntos C y D. Trazando una perpendicular al radio que llega a cualesquiera de estos dos puntos, resultará la tangente pedida.
Nota: Observe en el procedimiento gráfico que es posible trazar dos tangentes a la circunferencia y que además sean paralelas a la línea AB: la que pasa por el punto D y la que pasa por el punto C.


 


6.   Trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias dadas.

PROCEDIMIENTO:
Trazamos la línea 00’ que une los centros de las circunferencias y le hallamos su punto medio A.   Con centro en 0 y un radio igual a la  diferencia entre los radios de las circunferencias conocidas, trazamos una circunferencia auxiliar.   Con centro en A y radio A0, trazamos un arco que corte la circunferencia auxiliar en los puntos B y C. Trazamos y prolongamos las líneas radiales 0B y 0C para determinar sobre la circunferencia mayor los puntos D y E respectivamente.    A partir de 0’ trazamos los radios 0’F y 0’G paralelos a 0D y a 0E respectivamente.   Al unir D con F, y E con G resultarán las tangentes exteriores.

 


7. Trazar las tangentes interiores a dos circunferencias dadas.

PROCEDIMIENTO:
Trazamos la línea 00’ que une los centros de las circunferencias y le encontramos su punto medio A. Con centro en 0 y un radio igual a la  Suma de los radios de las circunferencias conocidas, trazamos una circunferencia auxiliar. Con centro en A y radio A0, trazamos un arco que corte la circunferencia auxiliar en los puntos B y C. Trazamos las líneas radiales 0B y 0C para determinar sobre la circunferencia O los puntos D y E respectivamente. A partir de 0’ trazamos los radios 0’F, paralelo a OE, y 0’G paralelo a 0D. Al unir D con G y E con F resultarán las tangentes interiores.


 


CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A RECTAS

DEFINICIÓN: Cuando una circunferencia toca en un punto a una línea, y este punto está a igual distancia que los demás puntos de la circunferencia, entonces ésta es tangente a la línea.

CONSTRUCCIONES

1. Trazar una circunferencia tangente a los dos lados de un ángulo, que pase por el punto D que se encuentra sobre uno de los lados del ángulo.

 PROCEDIMIENTO:. Trazamos la bisectriz al ángulo dado y luego  levantamos  una  perpendicular al punto D, que corte a la bisectriz en el punto O.   Con centro en O y radio OD, trazamos la circunferencia tangente a los lados del ángulo. 

 



2. Trazar una circunferencia tangente a los lados de una línea poligonal cóncava de tres segmentos.

PROCEDIMIENTO:. Trazamos las bisectrices a cada uno de los ángulos formados por los segmentos, de tal forma que se corten en el punto O. A una de los segmentos, en este caso AB, le trazamos una perpendicular que pase por el punto O y corte al segmento en el punto E. Con centro en O y radio OE, trazamos la circunferencia tangente a los lados de la línea poligonal.

 



 


3. Trazar una circunferencia tangente a los tres lados de un triángulo.

 PROCEDIMIENTO:.
Trazamos las bisectrices a cada uno de los ángulos del triángulo ABC, las cuales se cortan en el punto O. A uno de los lados del triángulo, en este caso el AB, le trazamos una perpendicular que pase por el punto O y lo corte en el punto E.   Con centro en O y radio OE trazamos la circunferencia tangente.


 



4. Trazar tres circunferencias tangentes a los lados de un triángulo equilátero y tangentes entre sí.

PROCEDIMIENTO:
Trazamos las líneas que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto ( las medianas), las cuales se cortan en el punto O y a su vez cortan los lados del triángulo en los puntos 1,2 y 3. Trazamos una de las bisectrices de los ángulos que se forman en los cortes 1,2 y 3, en este caso en el corte 1. Esta bisectriz cortará a una de las medianas en el punto P, que será el centro de una de las circunferencias tangentes. Trasladamos este centro P a las demás medianas por medio de una circunferencia con centro en O, encontrando los otros centro P’ y P’’. Para encontrar el radio de las circunferencias tangentes, trazamos una perpendicular al lado AB del triángulo, que pase por el punto P y nos de el punto M. Las circunferencias tangentes se trazan con centro en los puntos P y con radio PM. 


 



CIRCUNFERENCIAS TANGENTES

DEFINICIÓN: Dos circunferencias son tangentes entre si cuando tienen solo un punto en común. La ubicación de los demás puntos de una con respecto a los demás de la otra, definen si son tangentes exteriores o interiores.

CONSTRUCCIONES

1. Dibujar dos circunferencias tangentes exteriores.

SOLUCION
Trazamos una línea OO’ con longitud igual a la suma de los radios de las circunferencias.   Con centro en los extremos de la línea y los radios respectivos, trazamos las circunferencias tangentes exteriores.


 




2. Trazar dos circunferencias tangentes interiores, de diferente radio.

PROCEDIMIENTO.

Trazamos la línea OO’ igual a la diferencia de los radios de las dos circunferencias.   Con centro en los extremos de la línea y los radios correspondientes trazamos las circunferencias tangentes interiores.

 


 



3. Dada una circunferencia trazarle circunferencias tangentes interiores, tangentes entre sí.

PROCEDIMIENTO
Dividimos la circunferencia en partes iguales, el doble del número de circunferencias pedidas.  En este caso dividimos la circunferencia en 6 partes, pues trazaremos 3 circunferencias tangentes. Dividida la circunferencia, trazamos los diámetros respectivos, prolongando uno de ellos hasta que forme el ángulo M con la tangente trazada al punto P de la circunferencia dada.   Trazamos la bisectriz del ángulo M, que corte al diámetro PQ en el punto F, centro de una de las circunferencias.   Los demás centros, F’ y F’’, los encontramos al cortar los otros diámetro con una circunferencia trazada desde O con radio OF.   Las circunferencias tangentes interiores las trazamos desde los puntos F,F’ y F’’, con radio FP.

 



4. Dibujar las circunferencias A,B y C tangentes exteriores.

PROCEDIMIENTO.

Trazamos el triángulo ABC, cuyos lados equivalen a las sumas de los radios de las circunferencias, a si:   lado AB igual a la suma de los radios de las circunferencias A y B, lado AC igual a la suma de los radios de las circunferencias A y C, y el lado BC igual a la suma de los radios de las circunferencias B y C.   Los vértices del triángulo serán los centros desde donde trazaremos las circunferencias con sus radios respectivos.

 


 

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